直线回归方程的假设检验

 

（一）样本回归系数的假设检验

根据例9.1资料求得的是样本回归系数b，有抽样误差的，需作假设检验，检验其是否是从回归系数为0的假设总体（即β=0）中随机抽得的，也就是检验b与0的差别有无显著性。如果差别有显著性，可认为X与Y间有直线回归存在。

样本回归系数的假设检验亦用t检验。

　　H ₀ ：β=0即Y的变化与X无关；

　　H ₁ ：β≠0。

计算公式为：

 　 （9.7）

　　分母S _b 是样本回归系数b的标准误，计算公式为：

　　　　　　　 　 　 （9.8）

分子Sy.x为各观察值Y距回归线的标准差，即当X的影响被扣去以后Y方面的变异，可按下式计算：

　　　　　　　 （9.9）

　　式中∑（Y- ） ² 为估计误差平方和，常用下式计算：

（9.10）

　　根据数理统计的理论，同一批资料计算所得t _r 与t _b 是相同的，即t _r =t _b 。处理资料时可检验相关显著性代替其回归显著性。

由于例9.1资料的r在α=0.01水准上显著，故可判断样本回归系数-8.5045与0的相差有显著性，说明存在凝血时间随凝血酶浓度变化而变化的回归关系。

（二）两样本回归系数相差的假设检验

　　若有两个可以比较的样本，它们的回归系数分别为b ₁ 与b ₂ ，经检验都为显著，回归系数的标准误分别为S _b1 和S _b2 。b ₁ 与b ₂ 相差的显著性也可用t检验法检验，其计算公式为：

 

（9.11）

　　ν=n ₁ +n ₂ -4

　　式（9.11）中S _b1-b2 为两样本回归系数之差的标准误，其计算公式为：

　(9.12)

　　式（9.12）中S ² _C 为两样本回归系数的合并方差，其计算公式为：　

　　 　(9.13)

　　式（9.13）中∑（Y- ） ² 为估计误差平方和，即观察值Y与估计值 的差数（Y- ）的平方之和。其计算公式见公式（9.10），

现以实例说明两样本回归系数t检验的步骤。

例9.2　表9.2资料为同一批白蛋白于38℃与25℃条件下，不同时间（分）的凝固百分比，问由此而得的两样本回归系数相差是否显著？

表9.2　白蛋白在两种温度下各不同时间的凝固百分比

时间（分）	凝固百分比（%）
X	25℃ Y 1	38℃ Y 2
3	7.2	12.0
6	18.4	30.0
9	30.0	44.0
12	40.0	53.0
15	49.0	66.0
18	58.0	81.5
合计　63	202.6	286.5

本例图示见图9.10，本例计算见图下：

图9.10　白蛋白在两种温度下各不相同时间的凝固百分比

　　r ₁ =0.998(P<0.01) b ₁ =3.389 ∑(Y ₁ - ₁ ) ² =5.7927n ₁ =6

　　r ₂ =0.996(P<0.01) b ₂ =4.424∑(Y ₂ - ₂ ) ² =24.5857n ₂ =6

　　∑(X ₁ -X ₁ ) ² =∑(X _２ -X _２ ) ² =157.5000

　　1．H ₀ ：β ₁ -β ₂ =0

　　H ₁ ：β ₁ -β ₂ ≠0

α=0.01

2．计算t值：

3．查t值表作结论：以ν=6+6-4=8查t值表，得

　　t _0.01,8 =2.355,今�t�>t _0.01,8 ,故P<0.01。

　　4．判断结果：按α=0.01水准，拒绝H ₀ ，接受H ₁ ，故两个回归系数差别显著。说明两条回归直线的斜率不同，两条回归直线中X对Y的影响规律不一致。现b ₂ >b ₁ ，说明随着时间的增加，蛋白质在38℃时凝固百分比的增加量比在25℃时高。