总体均数的估计

 

为了说明常用的总体均数之区间估计法，我们不妨回顾一下上节所叙的t分布。

由求t的基本公式

我们看到X与μ的距离等于t（SX），又根据X集中分布在μ周围的特点，若取t的5%

界即t0.05,,（或1%界）乘以SX作为X与μ的距离范围，就可用式（6.6）或式(6.7)求

出区间来估计总体均数μ所在范围，估错的概率仅有5%或1%，因此称95%或99%可信区间。下面用实例说明其求法。

　　95%可信区间　X-t0.05,νSX<μ < p>

　　99%可信区间　X-t0.05,νSX<μ < p>

例6.2　上面抽样实验中第1号样本的均数为488.6，标准差为61.65，例数10，自由度ν=10-1=9，试求95%与99%可信区间。

　　1．求标准误
　

95%可信区间　488.6-2.262(19.50)<μ<488.6+2.262(19.50),即有95%的把握估计μ是在444.49～532.71区间内

99%可信区间　488.6-3.250(19.50)<μ<488.6+3.250(19.50),可有99%的把握估计μ是在425.22～551.98区间内

这里两个可信区间都包含μ=500在内，所以这次估计是估计对了。

抽样实验共抽了100个样本，除1号样本外其余99个样本均数也对μ作了区间估计，这些95%可信区间列在表6.4中。我们看到，只有5个95%可信区间（右上角标有星号）不包含总体均数μ=500在内，它们是：

样本号	X	95%可信区间
6	546.7	515.78～577.62
7	524.5	500.45～548.55
28	476.1	454.91～497.29
72	465.3	447.02～483.58
75	526.6	503.10～550.10

平时我们并不重复抽取许多样本来一次次估计总体均数而仅是一次，至于算出的均数会类似一百个样本均数中的那一个就很难说了。如果不遇到类似上列那些均数过大或过小的样本，求出可信区间后总体均数真是在该区间内，那么便是一次成功的估计：但是极少数情况下我们也会遇到极端的样本，以至总体均数并不在我们提出的区间内。不过，我们具体所作的这次估计到底属于前种情况还是后一种，这是无法知道的，因为我们不知道μ是多少（若已知μ便不必估计它了）。然而象后种情况那样作出错估的概率终究很小，只5%或1%，所以用这样的方法估计总体均数还是可行的。